Albrecht Schuch wurde am 21. August 1985 in Jena als Sohn eines Psychiaters und einer Allgemeinmedizinerin geboren. Seine vier Jahre ältere Schwester ist die Schauspielerin Karoline Schuch. Anders als diese, die tatsächlich auf der Straße entdeckt wurde, war Albrecht Schuch bereits im Schultheater aktiv, wo ihn nach eigener Aussage seine Deutschlehrerin und Wedekinds "Frühlings Erwachen" inspirierten. Nach dem Abitur erhielt Schuch nach nur einer Absage einen Studienplatz an der Hochschule für Musik und Theater "Felix Mendelssohn Bartholdy" in Leipzig, wo er von 2006 bis 2010 Schauspiel studierte. Anschließend wurde er ins Ensemble des Maxim Gorki Theaters Berlin berufen und gastierte zudem an der Wiener Burg.

Nach ersten kleinen TV-Rollen gehörte er 2010 zum Ensemble von Hermine Huntgeburths preisgekröntem Fernsehspiel "Neue Vahr Süd" nach dem Roman von Sven Regener. Im Jahr darauf verkörperte er in Robert Thalheims "Westwind" den biederen Betreuer zweier DDR-Sportler, die sich während eines Trainingsaufenthalts in Ungarn in zwei westdeutsche Frauen verlieben.

Seine erste Kinohauptrolle hatte Schuch 2012 in Detlev Bucks aufwändiger Bestsellerverfilmung "Die Vermessung der Welt" als weltreisender Naturforscher Alexander von Humboldt.

Danach wirkte Schuch wieder in einigen Fernsehproduktionen mit: In der Münchner "Tatort"-Folge "Allmächtig" (2013) verkörperte er einen Pater, der sich einem bizarren Kampf gegen das Böse auf Erden verschrieben hat; in Züli Aladags Krimi "Die Fahnderin" (2014) sah man ihn als Staatsanwalt an der Seite von Katja Riemann. Unter Aladags Regie gehörte er als Mordverdächtiger auch zum Ensemble der "Tatort"-Folge "Schwerelos" (2015). Am Theater erhielt Schuch 2014 eine Nominierung für den Nestroy-Preis als Bester Nebendarsteller, für seine Rolle als "Sekretär" in "Maria Magdalena" am Wiener Burgtheater.

2016 spielte Schuch in drei Filmen von Christian Schwochow: In dem historischen Drama "Die Pfeiler der Macht" (TV) gab er einen reichen Bankierssohn; in "Die Täter - Heute ist nicht alle Tage" (TV) aus dem Dreiteiler "Mitten in Deutschland: NSU" verkörperte er den Neonazi Uwe Mundlos; und in der Kinoproduktion "Paula", einer Filmbiografie der Malerin Paula Modersohn-Becker, war er der Maler Otto Modersohn.

Danach sah man Schuch in einigen ambitionierten Fernsehproduktionen: In dem Kriminaldrama "Verräter - Tod am Meer" (2017) war er ein DDR-Volkspolizist, der zwischen die Fronten von Stasi und BND gerät; in der viel gelobten Serie "Bad Banks" (2018) spielte er einen in die Enge getriebenen Investmentbanker; und in dem Zweiteiler "Gladbeck" (2018) verkörperte er den Fotoreporter Peter Meyer, der sich zum Vermittler der Gladbecker Geiselnehmer machte.

Beim Münchner Filmfest 2018 feierten in der Reihe Neues Deutsches Fernsehen Thomas Stubers Aussteiger-Drama "Kruso" und Rainer Kaufmanns Dorfstudie "Der Polizist und das Mädchen" Premiere, beide mit Schuch in Hauptrollen. Parallel dazu stand er bereits für seinen nächsten Kinofilm vor der Kamera: In Burhan Qurbanis moderner Döblin-Verfilmung "Berlin Alexanderplatz" (Premiere bei der Berlinale 2020) wurde Schuch in einer tragenden Rolle als bösartiger Reinhold besetzt.

Viel Kritikerlob erhielt das Sozialdrama "Systemsprenger" (2019), das im Wettbewerb der Berlinale 2019 Premiere feierte. Schuch spielte darin eine Hauptrolle als Anti-Gewalt-Trainer, der sich eines extrem widerspenstigen Mädchens annimmt. Sehr positive Kritiken gab es auch für das Drama "Atlas" (2019), in dem Schuch als Familienvater auf einen "Entmietungstrupp" trifft, das von seinem entfremdeten Vater angeführt wird. Für seine Leistung in diesen beiden Filmen erhielt Schuch den Preis des Saarländischen Rundfunks beim Günter Rohrbach Filmpreis 2019. Im gleichen Jahr gewann er den Deutschen Fernsehpreis als Bester Schauspieler für seine Leistungen in "Gladbeck", "Der Polizist und das Mädchen" und "Kruso".

Einen besonderen Erfolg konnte Schuch schließlich beim Deutschen Filmpreis 2020 feiern, denn er wurde gleich zwei Mal ausgezeichnet: für die Beste männliche Hauptrolle in "Systemsprenger" und für die Beste männliche Nebenrolle in "Berlin Alexanderplatz".

Auch bei seinen nächsten Rollen blieb Schuch seiner Vorliebe für ernste Rollen und anspruchsvolle Stoffe treu: Andreas Kleinerts Filmbiografie über Thomas Brasch "Lieber Thomas", Philipp Stölzls Stefan-Zweig-Adaption "Schachnovelle" und Dominik Grafs Kästner-Verfilmung "Fabian" (alle 2020/2021). Für diese Leistungen wurde er beim Bayerischen Filmpreis im Mai 2022 als Bester Darsteller ausgezeichnet. Für seine Hauptrolle in "Lieber Thomas" erhielt er beim Deutschen Filmpreis 2022 seine dritte Lola.

Im selben Jahr war er in der Miniserie "Funeral for a Dog" als Journalist, der in das Leben eines geheimnisvollen Schriftstellers (Friedrich Mücke) hineingezogen wird, als Soldat Stanislaus ''Kat'' Katczinsky in dem vierfach Oscar®-prämierten Antikriegsfilm "Im Westen nichts Neues" sowie im Ensemble von Thomas Stubers Kurzgeschichten-Verfilmung "Die stillen Trabanten" zu sehen. Für seine Leistung in "Im Westen nichts Neues" gewann Schuch 2023 in der Kategorie "Beste männliche Nebenrolle" seinen vierten Deutschen Filmpreis.