Richard Albert Eichberg wurde am 27. Oktober 1888 in Berlin geboren, wo seine Eltern eine Gastwirtschaft betrieben. Ursprünglich wollte er Sänger werde, wendete sich nach dem Gymnasialabschluss aber der Schauspielerei zu. Sein erstes Engagement erhielt er in der Spielzeit 1906/07 am Stadttheater Schaffhausen (Schweiz), in dessen Ensembleverzeichnis man ihn als "komische Charge" führte. Nach kürzeren Gastspielen in Aachen, Posen und Köln ging er zurück nach Berlin, wo er von 1907 bis 1909 am Residenz-Theater und am Berliner Theater auf der Bühne stand und bald auch als jugendlicher Liebhaber besetzt wurde.

Um 1907, so heißt es in verschiedenen Quellen, stand Eichberg für sogenannte "Film Ton Bilder" der Messter’s Projection GmbH erstmals vor der Kamera (ohne Nennung). Von 1909 bis 1912 reiste er mit einer Tourneebühne durch Südamerika.

Nachweisen lassen sich seine Filmauftritte erst ab 1912, in einigen Dramen der Messter’s Projection GmbH und der Films Charles Decroix. Nach Beginn des Ersten Weltkriegs wechselte Eichberg 1915 vom Schauspiel zu Regie und Produktion. Er gründete die Eichberg-Film und realisierte publikumswirksame Melodramen sowie Kriminal- und Actionfilme, die handwerkliche Solidität mit turbulenten Geschichten, exotischen Spielorten und reißerischen Abenteuerszenen verbanden. Als Hauptdarstellerinnen verpflichtete er häufig Ellen Richter und Leontine Kühnberg, die unter seiner Regie durch Sensationsfilme wie "Das Skelett" (1916), "Das Bacchanal des Todes" (1917) und "Die goldene Mumie" (1919) zu Ruhm kamen.

Ab 1919 war seine Ehefrau Lee Parry der Star seiner Filme, sei es in Melodramen wie "Der Roman einer armen Sünderin" (1922), Gesellschaftsdramen wie "Fräulein Raffke" (1923) oder romantischen Abenteuern wie "Die schönste Frau der Welt" (1924).

Nach der Trennung von Parry im Jahr 1924 machte er die noch unbekannte Lilian Harvey in Filmen wie "Die Kleine vom Bummel" und "Leidenschaft" (beide 1925) berühmt. 1926 besetzte er sie in der Komödie "Die keusche Susanne" erstmals an der Seite ihres späteren Stammpartners Willy Fritsch, mit dem er zuvor "Der Prinz und die Tänzerin" gedreht hatte.

Eichberg realisierte zwar noch mehrere Filme mit Harvey, verlor sie aber 1928 an die Ufa, wo sie mit Fritsch zum populärsten Liebespaar des deutschen Kinos der 1930er Jahre avancierte. Auch Dina Gralla ("Das Girl von der Revue ", 1928) und Anna May Wong ("Großstadtschmetterling", 1929) entdeckte und etablierte Eichberg zwar, konnte sie jedoch nicht halten.

1930 ging Eichberg nach London, um für die British International Pictures (BIP) als einer der ersten deutschen Regisseure Tonfilme herzustellen. Die erfolgreichste dieser in mehreren Sprachversionen gedrehten Produktionen war der Krimi "Der Greifer" (1930) mit Hans Albers (in der englischen Version "Night Birds" spielte Jack Raine die Hauptrolle). Mit Albers drehte Eichberg noch den Krimi "Der Draufgänger" (1931).

Nach der Machtübernahme der Nazis Anfang 1933 arbeitete Eichberg vorwiegend im Ausland, so zum Beispiel 1934/35 bei drei französisch-deutschen Koproduktionen, die in zwei Sprachversionen entstanden: "Die Katz' im Sack" (1935) mit Theo Lingen, "Der Schlafwagenkontrolleur" (1935) mit Georg Alexander und Lingen und "Der Kurier des Zaren" (1936) mit Adolf Wohlbrück.

In Indien und Berlin entstanden 1937 die aufwändigen Abenteuerfilme "Der Tiger von Eschnapur" und "Das indische Grabmal", nach dem Roman von Thea von Harbou (erstmals verfilmt 1921 von Joe May). Eine Hauptrolle (auch in den französischen Sprachfassungen) spielte seine damalige Ehefrau Kitty Jantzen, die sich danach allerdings von der Schauspielerei zurückzog.

Obwohl beide Filme sich als überragende Publikumshits erwiesen, sah Eichberg sich zunehmenden Schikanen durch das NS-Regime ausgesetzt. Als Konsequenz emigrierten er und Jantzen im Oktober 1938 (manche Quellen nennen Oktober '39) in die USA. Er arbeitete unter anderem am Broadway und war 1942 Mitfinancier der Operetten-Festspiele der Carnegie Hall. In Hollywood aber konnte er trotz seines nachweislichen Talents für publikumsträchtige Genrefilme nicht Fuß fassen.

1949 kehrte Eichberg ins befreite Deutschland zurück. Mit dem aufwändig produzierten Liebesmelodram "Die Reise nach Marrakesch" (1949) versuchte er an frühere Erfolge anzuknüpfen – doch der Film floppte und beendete seine Regiekarriere. Seine letzte Filmarbeit waren die Produktion und die künstlerische Oberleitung bei "Skandal in der Botschaft" (1950, Regie: Erik Ode).

Angeblich bereitete Richard Eichberg gerade eine Verfilmung der Operette "Der letzte Walzer" vor, als er unerwartet am 8. Mai 1952 in München starb.