Paul Salisbury wurde 1979 in Jena (damals DDR) als Sohn eines englischen Germanisten und einer deutschen Anglistin geboren. Er studierte Germanistik in Leipzig und Film in New York. Von 2007 bis 2010 absolvierte er ein Drehbuchstudium an der Deutschen Film- und Fernsehakademie Berlin (dffb). Während dieser Zeit schrieb er unter anderem das Drehbuch zu David Nawraths Abschluss-Kurzfilm "Die offene Tür" (2009).

Seit 2010 ist Paul Salisbury als freier Drehbuchautor tätig. 2012 schrieb er ein Drehbuch mit dem Titel "Schwergewicht", das Thomas Stuber und Clemens Meyer als Vorlage für das Drehbuch zu dem preisgekrönten Drama "Herbert" (2015) diente. Gemeinsam mit Paul Florian Müller schrieb Salisbury die TV-Komödie "Vorstadtrocker" (2015), über einen arbeitslosen Enthüllungsjournalisten, der ungewollt eine Rockerbande in seinen biederen Vorort lockt. Bei den Biberacher Filmfestspielen wurde "Vorstadtrocker" als Bester Fernsehfilm ausgezeichnet.

Zusammen mit seinem einstigen Kommilitonen David Nawrath schrieb Salisbury das Drehbuch "Atlas", über einen alternden Möbelpacker, der bei einer kriminellen Entmietung auf seinen erwachsenen Sohn trifft, den er als Kind im Stich ließ. 2015 gewannen die beiden für "Atlas" den Emder Drehbuchpreis; 2016 wurden sie für den Deutschen Drehbuchpreis nominiert. Während dieser Zeit verfasste Sailsbury das Drehbuch zu dem Fernsehspiel "Das deutsche Kind" (2017), über ein Waisenmädchen, das nach dem letzten Willen der Mutter bei muslimischen Freunden aufwachsen soll, was zu schweren Konflikten mit den christlichen Großeltern des Kindes führt. Der Film wurde für den Grimme-Preis nominiert und gewann den Deutschen Regiepreis Metropolis.

Anfang 2017 wurde schließlich auch "Atlas" in Frankfurt am Main verfilmt; die Regie führte David Nawrath, als Produzent fungierte unter anderem Hans-Christian Schmid. "Atlas" feierte bei den Hofer Filmtagen 2018 Premiere. Beim Turin Film Festival gewann er den Spezialpreis der Jury und den Preis für den besten Hauptdarsteller (Rainer Bock). Der deutsche Kinostart folgte im April 2019. Beim Deutschen Filmpreis 2019 erhielten Salisbury und Nawrath eine Nominierung für das Beste Drehbuch.